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例谈立体几何中的排列组合概率问题

在近几年的高考试题中出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强,能力要求高,往往作为高考选择填空题的压轴题,它不仅考查相关的基础知识,而且还注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查.

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2 0第 4期 0 6年

中学教研 (学)数 民教育出版社,0 5 2 0

3 1

学习成绩在年级和系内领先 .经过努力,我们的学生

在思想品质和学业成绩上取得了双丰收,他们高度的自信心和勇于挑战、百折不挠的意志品质得到了 很好的锻炼,他们是全面发展的一个群体,但数学不

3国际 2世纪教育委员会 . 1联合国教科文组织总

部中文科译 .育——财富蕴藏其中.京:教北教育 科学出版社 .9 6 19

成绩突出,而且经过三年的努力,在各方面进步都很 r

4[ S pe .r k d .静等译.美]t hn Bo f d罗 e D oi讨论式教学 法——实现民主课堂和的方法与策略 .北京: 中 国轻工业出版社。02 2 0

大.

5郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育. 上海:海教育出版社,98上 19

1任樟辉数学思维理论 .宁:西教育出版社。南广 2 01 0

6[ G A戴维斯, .,美] . . S B里姆.杨庭郊译.英才教 育.北京:新华出版社,9 2 19

2张雏忠.文化视野中的数学与数学教育.北京:人

高考与中 考 高考与中考-高考与中 - -考 -高考与中考 高考与中考-高考与中考 高考与中考 高考与中 - - 考 高考与中考-高 -考与中青-高 -考与中考一高考与中考

l例诙立体几何中的排列组合概率问题 l 耵 ●张世林谭升平 (北第学 4 3 )湖巴东一中 4 0 40计差 高考与中考 高考与中考 高考与中考 - - - -高考与中寿- -高考与中, -高, 考与中考-高 -考与中考-高考与中 -考-高考与中考 高考与中考-高 -考与中考 高考与中考

在近几年的高考试题中出现了以立体几何中的

①在四棱锥的每个侧面上除 P点外任取 3点,

点、、线面的位置关系为背景的排列、组合、率问概 题。这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强,能力要求高,往往作为高考选择填空题的压

有 4; 4种取法; xC= 0 ②在两个对角面上除点 P外任取 3点,共有 2 X i8 =种不同取法; c ③过点 P的每一条棱上的三点和与这条棱异面

轴题,它不仅考查相关的基础知识,而且还注重对数 学思想方法的考查,注重对数学能力的考查

. 1共面『题:类讨论口分]

的棱的中点也共面, 4 j种不同的取法.共有 XC=8 故不同的取法共有 4+8;5种 . 0+8 6

例 1不共面的 4个定点到平面口的距离都相等,这样的平面 a共有 A. 3个解析 B4 .个 C 6个 . D. 7个 (0 5年全国卷Ⅲ) 20 事实上,平面 a可以分为两类:一类是在 ( )

点评这类问题应根据立体图形的几何性质, 选取恰当的分类标准。到分类不重复,做也不遗漏.

其中在例 2,中因为经过一条直线和直线外一点有且仅有一个平面,学生最容易漏掉的是第③类,最易重复的也是第③类 . 2异面问题:灵活转化

平面 a的两侧各有两个点;另一类是在平面 a的两 侧分别有 1个点和 3个点 .图 1设 E, G, M如。 F, H,分别是 A A A∞, D的中点, E, G三 B, C, D, B过 F,点的平面 a满足题意.这样的平面有 4个;又过 E, F, M的平面 a也满足题意, H,这样的平面有 3个 . 故适合题设的平面 a共有 7,个应选 D.

例 3过三棱柱任意两个顶点的直线共 1 5条, 其中异面直线有 A 1对 8 B2 4对 C3 .O对 D.6对 3

(

)

(0 5年全国卷 I) 20

解析

大家知道一个三棱锥可以确定 3对异面

例 2在四棱锥 P—A C中, .D B顶点为 P从其直线,,一个三棱柱可以组成 C—=1个三棱锥, 33 2故 他的顶点和各棱的中点中取 3,们和点 P在个使它 同一平面上,不同的取法有 ( ) .种 (0 5年高考模拟题 ) 20 解析如图 2满足题设的取法可分为 3类:。 A .0 B. 8 C.6 D. 2 4 4 5 6

共有 3 6对异面直线 .故选 D.

点评

利用熟知的立体图形来灵活转化,是处

理异面直线配对的常用方法 .

例4四棱锥的 8条棱分别代表 8种不同的化 工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品在同

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