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例说三角函数解题中常用的几种运算技巧

解题总结

例说三角函数解题中常用的几种运算技巧已发表

河南省人大附中郑州分校 刘凡 邮编(452370)

(本文发表在2008.9《中学生理科应试》哈师大P17)

在三角函数解题中,通常要依据条件的结构特征,辅以适当的运算方法予以化简、变形,以期达到简化思路、顺利完成解题之目的。那么在三角函数解题中都有哪些常见的运算技巧呢?

一 利用乘除运算

1,cos cos 0......○2,求cos2 cos2 的值。 例:已知sin sin 1......○

1○2式的结构特征,不难发现○1式可变形为sin 1 sin ......○3,○2式可变解析:观察○

22

4,先对○3○4两式两边平方且利用加法运算得:(1 sin ) cos 1. 形为cos cos ......○

11

sin ,sin . cos2 cos 1 2sin2 1 2sin2 2 1 1.

22

34

1,cos cos ......○2,求cos( )的值。 例:已知sin sin ......○55

解析:由条件中两式的结构特征,对其左端进行和差化积有:2sin2cos

3

3, cos ......○

225

30/,○4○

2

cos

2

4

......51

4○,因为c

2

得:

t2 3 7. tan , cos( )

25241 tan2

2

注:在三角函数解题中,灵活的应用“乘除、乘方、加减”等运算技巧,常常可以构造公式应用的条件或者把一些“分散”的条件联系起来,使得解题过程既巧妙又简单。

二 巧引参数

1

例:求证:sin8 cos8 .

8

析证:由三角函数的平方关系式sin2 cos2 1的结构特征,联想数列的有关性质不难11111发现:设sin2 d,cos2 d,( d ).则sin8 cos8 sin2 ,,cos2 成等差数列。

22222

1111

( d)4 ( d)4 2d4 3d2 .命题得证。

例说三角函数解题中常用的几种运算技巧

2288

例:已知cos 1 sin cos 1 sin cos

的值。 求

1 sin cos 1 sin cos

解析:由平方关系式得:1 sin2 (1 sin )(1 sin ) cos2 . 1 sin ,cos ,1 sin 成等比数列。于是利用等比数列的性质可以设元:1 sin cos ,1 sin qcos .则原式=

1

q

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